很早就想要学习一下概率与统计学的知识了. 现在开始吧.

概率论初步

基本概念

随机试验，随机事件。基本事件 组成 样本空间S，划分出非基本事件，如必然事件，不可能事件。

这里主要是集合运算.

概率

  • 定义1: $$ P(A)=\lim_{N\to \infty}\frac{n}{N} $$
  • 定义2: 非负性, 归一性, 可加性(有限可加性, 可列可加性) $$ 0\leq P(A) \leq 1 \ for\ \exists A\subset S $$ $$ P(S) = 1 $$ 对两个互不相容的事件: $ P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n) = \sum_{k=1}^n P(A_k) $

条件概率

$ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} $, 在B前提下A的概率=(A和B交集的概率)/B概率
理解: 把右边P(B)移到左边,即B发生的概率乘以条件概率,等于交集概率.

独立事件: $ P(AB) = P(A)\cdot P(B) $

随机变量

随机变量 X 是一个样本空间与实数域上的映射。例如：样本空间{男，女} <=> {0,1}, 因为我们通常只关心 X(s) = 0 的概率，所以用随机变量可以将样本空间转成我们熟悉的实值函数。 X(s) 可以看成是样本 s 在实数轴上的坐标(以防s是与实数无关的样本)。此时分布函数 F(x) 就是 坐标 X(s) 落在 $ (-\infty, x] $ 之间的概率。

$ X \ U(a,b) $ : 随机变量X在[a,b]区间符从均匀分布(Uniform Distribution) $ X ~ N(\mu,\sigma^2) $ : 随机变量X符从正态分布(Normal Distribution) $ EXP(\theta) $: 指数分布 $ P(\lambda) $: 泊松分布

期望

统计